יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p q) r (p r) (q r) F F F F T F F F T F T F F T F F T F F T T T T T פתרון: T F F F T F T F T T T T T T F F T F T T T T T T.2 תהי )} T g = {(p, T ), (q, F ), (r, השמה. חשבו את )g) val ( (ϕ,, עבור הפסוקים הבאים: val ( (p, )(r q), g) = t (val ( (p,, )g), val ( (r, )q, g)) (א) q).(p (r q)) (p פתרון: קודם נחשב את = t (g(p), t (val ( (r,, )g), val ( (q,, )g))) = t (T, t (g(r), g(q))) = t (T, t (T, F )) = t (T, F ) = F. val ( (p, )q, g) = t (val ( (p,, )g), val ( (q,, )g)) = t (g(p), g(q)) = t (T, F ) = F. עכשיו נחשב את val ( ((, p) (r q)) (p q), g) = t (val ( (p, )(r q), g), val ( (p, )q, g)) = t (F, F ) = T. לכן 1
3. לכל פסוק בידקו האם הוא טאוטולוגיה. (א) p).(p q) (q פתרון: הפסוק הוא טאוטולוגיה. תהי g השמה כלשהיא, אם g(p) = T אז,val ( (q, )p, g) = T ואם g(p) = F אז,val ( (p, )q, g) = T לכן הפסוק אמיתי בהשמה g. מכוון ש g השמה כלשהיא, הפסוק טאוטולוגיה. (ב) p)).p (q (r פתרון: הפסוק הוא טאוטולוגיה. תהי g השמה כלשהיא, אם g(p) = T אז,val ( (r, )p, g) = T לכן,val ( (q, )(r p), g) = T לכן הפסוק אמיתי בהשמה g. אם,g(p) = F אז שוב הפסוק אמיתי בהשמה g, בגלל ה p הראשון. מכוון ש g השמה כלשהיא, הפסוק טאוטולוגיה. (ג) p))).p (q (r (t פתרון: דומה לפתרון עבור הפסוק הקודם. 4. נניח ששלושת הטענות הבאות אמיתיות: אז (א) אדם הוליד את קין. (ב) קין אח של הבל. (ג) אם אדם הוליד את קין וקין הרג את הבל, אז קין לא אח של הבל. האם נובע ש: קין לא הרג את הבל? פתרון: כן נובע כי קין לא הרג את הבל, כי נסמן ''אדם הוליד את קין'' = p ''קין אח של הבל'' = q ''קין הרג את הבל'' = r ''קין לא אח של הבל'' = q ''קין לא הרג את הבל'' = r לכן (ג) הוא הפסוק p), (r q נניח ש (א),(ב), ו (ג) אמיתיים, כלומר תהי g השמה כך ש,g(q) = T,g(p) = T ו val ( ((, p) r) q, g) = T. אז val ( (p, )r, g) = F (כי,(val ( (, q), g) = F ומכוון ש g(p) = T נובע,val ( (r,, )g) = F לכן,val ( (, r), g) = T ז''א קין לא הרג את הבל. 5. הוכיחו את השקילויות הלוגיות הבאות,,ϕ,ψ χ הם פסוקים כלשהם. (א) ( ψ)).(ϕ ψ) (ϕ פתרון: נוכיח כי ( ψ)).(ϕ ψ) (ϕ תהי g השמה כך ש,val ( (ϕ, )ψ, g) = T אז val ( (ϕ,, )g) = T ו = )g) val ( (ψ,,,t ז''א,val ( (, ψ), g) = F לכן val ( (ϕ, )( ψ), g) = F, 2
ז''א.val ( (, ()ϕ ( ψ)), g) = T נוכיח כי ψ). (ϕ ( ψ)) (ϕ תהי g השמה כך ש val ( (, ()ϕ ( ψ)), g) = T, אז,val ( (ϕ, )( ψ), g) = F לכן val ( (ϕ,, )g) = T ו,val ( (, ψ), g) = F ז''א val ( (ϕ,, )g) = T ו,val ( (ψ,, )g) = T לכן.val ( (ϕ, )ψ, g) = T (ב) χ).ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) (ϕ פתרון: תהי g השמה כך ש,val ( (ϕ, )(ψ χ), g) = T אז val ( (ϕ,, )g) = T וגם.val ( (ψ, )χ, g) = T לכן val ( (ϕ,, )g) = T ו ) T val ( (ψ,, )g) = או.(val ( (χ,, )g) = T.i אם,val ( (ψ,, )g) = T אז,val ( (ϕ, )ψ, g) = T לכן גם.val ( ((, ϕ) ψ) (ϕ χ), g) = T.ii אם,val ( (χ,, )g) = T אז,val ( (ϕ, )χ, g) = T לכן גם.val ( ((, ϕ) ψ) (ϕ χ), g) = T ז''א χ).ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) (ϕ תהי g השמה כך ש,val ( ((, ϕ) ψ) (ϕ χ), g) = T אז val ( (ϕ, )ψ, g) = T או.val ( (ϕ, )χ, g) = T,val ( (ψ,, )g) = T וגם val ( (ϕ,, )g) = T אז,val ( (ϕ, )ψ, g) = T אם.i לכן val ( (ϕ,, )g) = T וגם,val ( (ψ, )χ, g) = T ז''א )(ψ val ( (ϕ,.χ), g) = T,val ( (χ,, )g) = T וגם val ( (ϕ,, )g) = T אז,val ( (ϕ, )χ, g) = T אם.ii לכן val ( (ϕ,, )g) = T וגם,val ( (ψ, )χ, g) = T ז''א )(ψ val ( (ϕ,.χ), g) = T לכן χ).(ϕ ψ) (ϕ χ) ϕ (ψ.6 תהי A קבוצת כל הפסוקים עם משתנים פסוקיים מתוך.}.., 2.{p 0, p 1, p נגדיר יחס R על A ע''י: עבור ϕrψ,ϕ, ψ A אם''ם ϕ שקול לוגית ל ψ. הוכיחו כי R יחס שקילות על A. פתרון: (א) רפלקסיביות: יהי ϕ פסוק ותהי g השמה, אז ברור שהטענה: ''val ( (ϕ,, )g) = T אם ורק אם val ( (ϕ,, )g) = T '' נכונה (אפילו אם לא קיימת השמה g כך ש.(val ( (ϕ,, )g) = T לכן.ϕ ϕ ז''א.ϕRϕ (ב) סימטריות: נניח,ϕRψ כלומר ϕ, ψ אז לפי הגדרת נובע ש ϕ ψ ו,ψ ϕ ז''א ψ ϕ ו,ϕ ψ לכן.ψ ϕ ז''א.ψRϕ (ג) טרנזיטיביות: נניח ϕrψ ו,ψRχ כלומר ϕ ψ ו,ψ χ אז ϕ ψ ו,ψ χ לכן ϕ χ (הוכחה בשאלה.(8 ויש גם χ ψ ו,ψ ϕ לכן.ϕRχ ז''א.ϕ χ לכן.χ ϕ ז''א היחס ''שקול לוגית'',, הוא יחס שקילות על A. 3
α φ, α γ, β φ, β δ.7 נניח α, β, γ, δ, φ פסוקים כך ש הם טאוטולוגיות. הוכיחו שגם γ δ טאוטולוגיה. פתרון: תהי g השמה כלשהי. מכוון שהפסוקים הם טאוטולוגיות יש: (1) val ( (α, )φ, g) = T, (2) val ( (α, )γ, g) = T, (3) val ( (β, ) φ, g) = T, (4) val ( (β, )δ, g) = T. מ (1) נקבל ש val ( (α,, )g) = T וגם.val ( (φ,, )g) = T מ (2) ומ,val ( (α,, )g) = T נקבל val ( (γ,, )g) = T. מ val ( (φ,, )g) = T נקבל ש val ( (, φ), g) = F ומכוון ש,val ( (β, ) φ, g) = T אז,val ( (β,, )g) = F ומכוון ש,val ( (β, )δ, g) = T יש val ( (δ,, )g) = T. לכן.val ( (γ, )δ, g) = T ז''א γ δ טאוטולוגיה. 8. נניח שה ϕ i הם פסוקים. הוכיחו או הפריכו: (א) (ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 3 שקול לוגית ל ) 3.ϕ 1 (ϕ 2 ϕ פתרון: זה לא נכון. נקח השמה g כך ש val ( (ϕ, ) 1, g) = F = val ( (ϕ, ) 3, g), val ( (ϕ, ) 2, g) = T יש השמה כזאת כי אנו יכולים לקחת את ה ϕ i להיות משתנים פסוקיים. אז val ( ((, ϕ) 1 ϕ 2 ) ϕ 3, g) = F val ( (ϕ, ) 1 (ϕ 2 ϕ 3 ), g) = T (ב) ) 3 ϕ 1 (ϕ 2 ϕ שקול לוגית ל.(ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 3 פתרון: זה נכון. תהי g השמה כך ש val ( (ϕ, ) 1 (ϕ 2 ϕ 3 ), g) = F אז val ( (ϕ, ) 1, g) = T ו,val ( (ϕ, ) 2 ϕ 3, g) = F לכן val ( (ϕ, ) 2, g) = T ו.val ( (ϕ, ) 3, g) = F ז''א val ( ((, ϕ) 1 ϕ 2 ) ϕ 3, g) = F val ( ((, ϕ) 1 ϕ 2 ) ϕ 3, g) = F כוון שני: נניח אז val ( (ϕ, ) 2, g) = T,val ( (ϕ, ) 1, g) = T ו.val ( (ϕ, ) 3, g) = F ז''א val ( (ϕ, ) 1 (ϕ 2 ϕ 3 ), g) = F 4
(ג) לכל > 2 :n ϕ 1 (ϕ 2 (ϕ 3... (ϕ n 1 ϕ n )...) (ϕ 1 ϕ 2... ϕ n 1 ) ϕ n שקול לוגית ל פתרון: נוכיח באינדוקציה על n. עבור = 3 n ראינו שזה נכון בסעיף (ב). נניח הטענה נכונה עבור n ונוכיח עבור + 1 n. נתבונן בפסוק ( ) ϕ 1 (ϕ 2 (ϕ 3... (ϕ n ϕ n+1 )...) נסמן.).. ) n+1 α = ϕ 2 (ϕ 3... (ϕ n ϕ אז ב α יש n פסוקים, לכן לפי הנחת האינדוקציה יש α (ϕ 2... ϕ n ) ϕ n+1 נסמן,β = ϕ 2... ϕ n אז הפסוק ( ) שקול לוגית לפסוק ϕ 1 (β ϕ n+1 ) אבל לפי סעיף (ב) פסוק זה שקול לוגית לפסוק 1+n ϕ) 1 (β ϕ וזה שקול לוגית לפסוק (ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ) ϕ n+1 לכן הטענה נכונה עבור + 1 n, לכן היא נכונה לכל 3 n. 9. נניח Σ קבוצת פסוקים, הוכיחו או הפריכו: (א) אם Σ ϕ אז כל פסוק ב Σ גורר לוגית את ϕ. פתרון: זה לא נכון, נקח Σ = {p q, p ( q)} ϕ = p, אז אם g השמה כך שכל פסוק ב Σ מקבל ערך T בהשמה g, כלומר val ( (p, )q, g) = T val ( (p, )( q), g) = T, אז בהכרח,val ( (p,, )g) = T לכן.Σ ϕ אבל,p q p כי עבור ההשמה g = {(p, F ), (q, T )} נקבל val ( (p, )q, g) = T ו.val ( (p,, )g) = F (ב) אם כל פסוק ב Σ גורר לוגית את ϕ אז Σ. ϕ פתרון: נניח Σ לא ריקה, אז זה נכון. תהי g השמה כך שלכל ψ Σ מתקיים,val ( (ψ,, )g) = T רוצים להוכיח ש,val ( (ϕ,, )g) = T אבל עבור פסוק כלשהו.Σ ϕ ז''א.val ( (ϕ,, )g) = T לכן,ψ ϕ נתון ש ψ Σ הערה: מספיק שיש פסוק אחד ב Σ שגורר לוגית את ϕ כדי ש Σ תגרור לוגית את ϕ. אם Σ ריקה, אז זה לא נכון. כי נקח פסוק שיקרי למשל (p ) ϕ, = p אז זה נכון שכל פסוק ב גורר לוגית את ϕ, (כי אין פסוק בקבוצה הריקה שלא יגרור לוגית את ϕ). אבל גורר לוגית את ϕ פרושו: לכל השמה g כך ש val ( (ψ,, )g) = T לכל,ψ מתקיים.val ( (ϕ,, )g) = T וזה אומר ש ϕ הוא טאוטולוגיה, סתירה! כי ϕ שיקרי. 5
10. נניח Σ קבוצת פסוקים, ו,ϕ,ψ χ פסוקים, הוכיחו: (א) ϕ ו ψ שקולים לוגית אם''ם הפסוק (ψ ϕ) הוא טאוטולוגיה. פתרון: נניח ש ϕ ו ψ שקולים לוגית, כלומר ϕ. ψ תהי g השמה, אז val ( (ϕ,, )g) = val ( (ψ,, )g) val ( (ϕ, )ψ, g) = t (val ( (ϕ,, )g), val ( (ψ,, )g)) = T. ז''א ϕ ψ הוא טאוטולוגיה. נניח ש ϕ ψ הוא טאוטולוגיה. אז לכל השמה g יש,val ( (ϕ, )ψ, g) = T לכן,t (val ( (ϕ,, )g), val ( (ψ,, )g)) = T ז''א )g),val ( (ϕ,, )g) = val ( (ψ,, לכן.ϕ ψ (ב) {ϕ, ψ} χ אם''ם הפסוק (ϕ ψ) χ הוא טאוטולוגיה. פתרון: נניח,{ϕ, ψ} χ נניח בשלילה ש (ϕ ψ) χ לא טאוטולוגיה, אז קיימת השמה g כך ש val ( ((, ϕ) ψ) χ, g) = F, לכן ז''א val ( (ϕ, )ψ, g) = T ו,val ( (χ,, )g) = F לכן val ( (ϕ,, )g) = T, val ( (ψ,, )g) = T, val ( (χ,, )g) = F. מצאנו השמה g שנותנת ערך T לכל פסוק ב,Σ אבל,val ( (χ,, )g) = F לכן,{ϕ, ψ} χ סתירה! לכן הפסוק (ϕ ψ) χ הוא טאוטולוגיה. נניח ϕ) (ψ χ הוא טאוטולוגיה. תהי g השמה כך ש val ( (ϕ,, )g) = T, val ( (ψ,, )g) = T, אז,val (,ϕ),ψ( (g = T מכוון שהפסוק שלנו הוא טאטולוגיה אז val ( ((, ϕ) ψ) χ, g) = T, לכן.val ( (χ,, )g) = T ז''א.{ϕ, ψ} χ 11. נניח Σ קבוצת פסוקים, ו,ϕ ψ פסוקים, הוכיחו או הפריכו: (א) ψ) Σ (ϕ אם''ם Σ ϕ וגם.Σ ψ פתרון: זה נכון. נניח (ψ Σ, ϕ) תהי g השמה שנותנת ערך T לכל פסוק ב,Σ אז,val ( (ϕ, )ψ, g) = T לכן val ( (ϕ,, )g) = T, val ( (ψ,, )g) = T, ז''א Σ ϕ וגם.Σ ψ נניח Σ ϕ וגם Σ, ψ תהי g השמה שנותנת ערך T לכל פסוק ב Σ, אז val ( (ϕ,, )g) = T, val ( (ψ,, )g) = T, לכן,val ( (ϕ, )ψ, g) = T לכן ψ).σ (ϕ 6
(ב) ψ) Σ (ϕ אם''ם.Σ {ϕ} ψ פתרון: זה נכון. נניח (ψ Σ, ϕ) תהי g השמה שנותנת ערך T לכל פסוק ב {ϕ},σ צריך להוכיח ש.val ( (ψ,, )g) = T מיכוון ש ψ),σ (ϕ אז.val ( (ϕ, )ψ, g) = T אבל ידוע ש,val ( (ϕ,, )g) = T לכן בהכרח.val ( (ψ,, )g) = T ז''א Σ {ϕ}.ψ נניח,Σ {ϕ} ψ תהי g השמה שנותנת ערך T לכל פסוק ב Σ, צריך להוכיח ש.val ( (ϕ, )ψ, g) = T.i אם,val ( (ϕ,, )g) = F אז val ( (ϕ, )ψ, g) = T וגמרנו. g לכן יש לנו השמה,val ( (ϕ,, )g) = T אז,val ( (ϕ,, )g) F אם.ii שנותנת ערך T לכל פסוק ב {ϕ}.σ מיכוון ש,Σ {ϕ} ψ אז.val ( (ϕ, )ψ, g) = T לכן.val ( (ψ,, )g) = T ז''א ψ).σ (ϕ 12. מיצאו 2 פסוקים ϕ 2 ϕ, 1 (עם משתנים פסוקיים p ו q ) בלתי שקולים לוגית, כך שאם נציב כל אחד מהם במקום ϕ בפסוק α, הפסוק α יהיה טאוטולוגיה. α = [(ϕ q) p] [(p q) ϕ] פתרון נתייחס ל ϕ כאל פונקציה } F,ϕ : {T, F } {T, F } {T, ונבנה טבלת אמת רק עם 2 משתנים כי ϕ תלוי רק ב p ו q, אנו רוצים שהעמודה המרכזית תהיה רק T. g p q (ϕ q) p (p q) ϕ 1 F F x 1 =T T y 1 =T 2 F T x 2 =T T y 2 =T 3 T F x 3 =T T y 3 =T 4 T T x 4 =T/F T y 4 =T x 1 ו x 2 הם T בגלל ש val ( (, p), g i ) = T עבור = 1, 2,i לכן כל החלק השמאלי הוא T. מכוון שהחץ המרכזי חייב להיות T, נקבל ש y 1 ו y 2 חייבים להיות T, ומכוון ש ϕ(f, F ) = ϕ(f, T ) = נקבל שחייב להיות i עבור = 1, 2 val ( (p, ) q, g i ) = T.T val ( (p, ) q, g 3 ) = T ומכוון ש,T חייב להיות לכן גם y 3,g 3 (q) = F כי x 3 = T נקבל שחייב להיות.ϕ(T, F ) = T x 4 יכול להיות T או.ϕ(T, T ) = T/F לכן,val ( (p, ) q, g 4 ) = F כי y 4 = T.F p q ϕ F F T F T T T F T T T T/F לכן אפשר לבחור ϕ כך ש 7
נקח למשל q),ϕ 1 = (p ו ϕ 2 טאוטולוגיה, למשל q) ϕ 1.(p p) (q ו ϕ 2 לא שקולים לוגית, כי יש להם טבלאות אמת שונות. 8